Ko‘phadlar va qisqa ko‘paytirish formulalari

Qisqa ko‘paytirish formulalari

• (a ± b)² = a² ± 2ab + b²;
• a² − b² = (a − b)(a + b);
• (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³;
• a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²).

Formulalar ikki tomonga ishlaydi: chapdan o‘ngga — qavs ochish, o‘ngdan chapga — ko‘paytuvchilarga ajratish. Hisobni ham tezlashtiradi: 99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801.

Ko‘paytuvchilarga ajratish usullari

1. Umumiy ko‘paytuvchini chiqarish: 6x² − 9x = 3x(2x − 3).
2. Guruhlash: ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y).
3. Formula: 4x² − 25 = (2x − 5)(2x + 5).
4. Kvadrat uchhad: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), x₁, x₂ — ildizlar. x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

Algebraik kasrni qisqartirish

Surat va maxraj avval ko‘paytuvchilarga ajratiladi, keyin umumiy ko‘paytuvchi qisqartiriladi.

Misol. (x² − 9)/(x² + 3x) = (x − 3)(x + 3)/(x(x + 3)) = (x − 3)/x, x ≠ −3, x ≠ 0.

Ko‘phadni bo‘lish va Bezu teoremasi

P(x) ko‘phadni (x − a) ga bo‘lgandagi qoldiq P(a) ga teng. Agar P(a) = 0 bo‘lsa, a — ildiz va P(x) ko‘phad (x − a) ga qoldiqsiz bo‘linadi.

Misol. P(x) = x³ − 2x + 5 ni (x − 2) ga bo‘lgandagi qoldiq: P(2) = 8 − 4 + 5 = 9.

Ko‘p uchraydigan xato

(a + b)² = a² + b² deb yozish — o‘rta had 2ab yo‘qoladi. Va yig‘indini qisqartirish: (x + 3)/3 ≠ x — qisqartirish faqat ko‘paytuvchi bilan mumkin.