Ratsional, irratsional va modulli tenglamalar

Ratsional tenglama

Noma’lum maxrajda qatnashadi. Tartib: (1) maxraj nolga teng bo‘lmasligi shartini yozish; (2) umumiy maxrajga ko‘paytirish; (3) hosil bo‘lgan tenglamani yechish; (4) ildizlarni shartga solishtirish.

Misol. (x² − 4)/(x − 2) = 5. Shart: x ≠ 2. (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 = 5 → x = 3. Javob: 3.

Irratsional tenglama

Ildizni yolg‘izlab, ikkala tomon kvadratga ko‘tariladi. Kvadratga ko‘tarish begona ildiz qo‘shishi mumkin, shuning uchun tekshirish majburiy.

Misol. √(x + 7) = x − 5. Kvadrat: x + 7 = x² − 10x + 25 → x² − 11x + 18 = 0 → x = 2 yoki x = 9. Tekshiruv: x = 2 da o‘ng tomon −3 < 0 — begona. x = 9: √16 = 4 ✓. Javob: 9.

Modulli tenglama

• |f(x)| = a, a > 0 ⇔ f(x) = a yoki f(x) = −a;
• |f(x)| = a, a < 0 — yechim yo‘q;
• |f(x)| = |g(x)| ⇔ f(x) = ±g(x);
• bir necha modul bo‘lsa — oraliqlar usuli: har modul nolga teng nuqtalar o‘qni bo‘laklarga ajratadi, har bo‘lakda modul ishorasi aniq.

Misol. |2x − 3| = 5 → 2x − 3 = 5 (x = 4) yoki 2x − 3 = −5 (x = −1). Ildizlar yig‘indisi 3.

Ko‘p uchraydigan xato

Irratsional tenglamada tekshirmaslik va ratsional tenglamada maxrajni nolga aylantiradigan ildizni javobga qo‘shib qo‘yish.