Тема 24
To‘plamlar va matematik mantiq
Kesishma, birlashma, ayirma, Eyler–Venn diagrammasi, mulohazalar.
To‘plamlar ustida amallar
- A ∩ B — ikkalasiga tegishli elementlar (kesishma);
- A ∪ B — hech bo‘lmaganda bittasiga tegishli (birlashma);
- A \ B — A da bor, B da yo‘q (ayirma);
- Ā — universal to‘plamda A ga kirmaganlar (to‘ldiruvchi).
n elementli to‘plamning qism to‘plamlari soni 2ⁿ (bo‘sh to‘plam va o‘zi ham kiradi).
Elementlar sonini hisoblash
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Misol. Sinfda 30 o‘quvchi: 18 tasi ingliz, 15 tasi rus tilini o‘rganadi, 4 tasi hech birini. Ikkala tilni o‘rganadiganlar: 30 − 4 = 26 = 18 + 15 − x → x = 7.
Uch to‘plam uchun: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A∩B| − |A∩C| − |B∩C| + |A∩B∩C|.
Mulohazalar
Mulohaza — rost yoki yolg‘on bo‘ladigan gap. Amallar: inkor (¬A), kon’yunksiya A ∧ B («va» — ikkalasi rost bo‘lsagina rost), diz’yunksiya A ∨ B («yoki» — bittasi rost bo‘lsa yetarli), implikatsiya A → B (faqat A rost, B yolg‘on bo‘lganda yolg‘on).
De Morgan qonunlari: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B; ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B.
«Barcha x uchun P» ning inkori — «shunday x mavjudki, P emas».
Ko‘p uchraydigan xato
Birlashma elementlarini sanaganda kesishmani ikki marta hisoblash va «hamma sonlar juft» inkorini «hamma sonlar toq» deb yozish.