Haqiqiy va kompleks sonlar, modul

Sonlar to‘plamlari zanjiri

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C: natural, butun, ratsional, haqiqiy va kompleks sonlar. Irratsional son — cheksiz davriy bo‘lmagan o‘nli kasr: √2, π, √3 + 1. Ratsional son esa har doim yo chekli, yo cheksiz davriy kasr bo‘ladi.

Davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish

0,(3) = 3/9 = 1/3;   0,(27) = 27/99 = 3/11.

Aralash davriy kasr: 0,1(6). Qoida: (butun yozuv − davrgacha bo‘lgan qism) / (davr raqamlari soniga teng 9 lar, keyin davrgacha raqamlar soniga teng 0 lar):

0,1(6) = (16 − 1) / 90 = 15/90 = 1/6.

Sonning moduli

|a| = a, agar a ≥ 0; |a| = −a, agar a < 0. Geometrik ma’nosi — sonlar o‘qida a dan 0 gacha masofa, |a − b| esa a va b orasidagi masofa.

Muhim ayniyat: √(a²) = |a|. Masalan, √((2 − √5)²) = |2 − √5| = √5 − 2, chunki √5 > 2.

Kompleks sonlar

z = a + bi, bu yerda i² = −1. a — haqiqiy qism, b — mavhum qism. Qo‘shishda qismlar alohida qo‘shiladi, ko‘paytirishda qavs ochiladi va i² o‘rniga −1 qo‘yiladi.

Misol. (2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i.

Qo‘shma son: z̄ = a − bi; z · z̄ = a² + b². Modul: |z| = √(a² + b²). Bo‘lishda surat va maxraj maxrajning qo‘shmasiga ko‘paytiriladi.

i ning darajalari 4 ta qadamda takrorlanadi: i, −1, −i, 1. Shuning uchun iⁿ ni topishda n ni 4 ga bo‘lgandagi qoldiq olinadi.

Ko‘p uchraydigan xato

√(x²) = x deb yozish. To‘g‘risi |x|: x manfiy bo‘lsa, ildiz baribir musbat chiqadi. Yana biri — i² = 1 deb hisoblash.