Topic 25
Kombinatorika va ehtimollik
O‘rin almashtirish, o‘rinlashtirish, guruhlash, klassik ehtimollik, qo‘shish va ko‘paytirish.
Ko‘paytirish qoidasi
Birinchi tanlov m usulda, ikkinchisi n usulda bajarilsa, ketma-ket tanlov m · n usulda. Uch xonali sonlar soni: 9 · 10 · 10 = 900.
Asosiy formulalar
- O‘rin almashtirish: Pₙ = n! — n ta narsani tartiblash;
- O‘rinlashtirish: Aₙᵏ = n!/(n − k)! — n tadan k tasini tanlash, tartib muhim;
- Guruhlash: Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!) — tartib muhim emas.
Misol. 10 kishidan rais va kotib: A₁₀² = 90. 10 kishidan 2 kishilik komissiya: C₁₀² = 45.
Nyuton binomi: (a + b)ⁿ = Σ Cₙᵏ aⁿ⁻ᵏ bᵏ; koeffitsiyentlar yig‘indisi 2ⁿ.
Ehtimollik
Klassik ta’rif: P(A) = m/n — qulay natijalar soni / barcha teng imkoniyatli natijalar soni. 0 ≤ P ≤ 1, P(Ā) = 1 − P(A).
- Birgalikda bo‘lmagan hodisalar: P(A ∪ B) = P(A) + P(B);
- Umumiy holda: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B);
- Bog‘liq bo‘lmagan hodisalar: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Misol. Ikki tanga tashlanganda kamida bitta gerb tushish ehtimoli: 1 − P(ikkalasi raqam) = 1 − 1/4 = 3/4.
Ko‘p uchraydigan xato
Tartib muhim bo‘lmagan masalada o‘rinlashtirishni ishlatish va «kamida bitta» masalasini to‘g‘ridan-to‘g‘ri hisoblashga urinish — qarama-qarshi hodisa orqali ancha oson.