Boshlang‘ich funksiya va integral

Boshlang‘ich funksiya

F′(x) = f(x) bo‘lsa, F — f ning boshlang‘ich funksiyasi. Barchasi F(x) + C ko‘rinishida: ∫f(x)dx = F(x) + C.

• ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1); ∫(1/x) dx = ln|x| + C;
• ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C;
• ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫(kx + b)ⁿ dx = (kx + b)ⁿ⁺¹/(k(n + 1)) + C.

Misol. F′(x) = 2x va F(1) = 5 bo‘lsa: F = x² + C, 1 + C = 5 → F(x) = x² + 4.

Aniq integral

Nyuton–Leybnis formulasi: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a).

Misol. ∫₀² 3x² dx = x³ |₀² = 8 − 0 = 8.

Yuzani hisoblash

f(x) ≥ 0 bo‘lsa, egri chiziqli trapetsiya yuzi S = ∫ₐᵇ f(x)dx. Ikki chiziq orasidagi yuza: S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x))dx, bunda f ≥ g, a va b — kesishish nuqtalari.

Misol. y = x² va y = x orasidagi yuza: kesishish 0 va 1; S = ∫₀¹ (x − x²)dx = 1/2 − 1/3 = 1/6.

Ko‘p uchraydigan xato

∫sin x dx = cos x deb yozish (to‘g‘risi −cos x) va yuzani hisoblashda funksiya manfiy bo‘lgan qismni modulsiz qo‘shib yuborish.