Hosila va uning tatbiqlari

Hosila jadvali

• (C)′ = 0; (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹; (√x)′ = 1/(2√x);
• (sin x)′ = cos x; (cos x)′ = −sin x; (tg x)′ = 1/cos²x;
• (eˣ)′ = eˣ; (aˣ)′ = aˣ ln a; (ln x)′ = 1/x.

Hisoblash qoidalari

• (u ± v)′ = u′ ± v′; (Cu)′ = Cu′;
• (uv)′ = u′v + uv′; (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²;
• murakkab: (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x).

Misol. y = (3x − 1)⁵ → y′ = 5(3x − 1)⁴ · 3 = 15(3x − 1)⁴.

Geometrik va fizik ma’no

f′(x₀) — x₀ nuqtadagi urinmaning burchak koeffitsiyenti. Urinma tenglamasi: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Harakat qonuni s(t) bo‘lsa, v(t) = s′(t), a(t) = v′(t).

Funksiyani tekshirish

f′ > 0 — o‘sadi, f′ < 0 — kamayadi. f′ ishorasi + dan − ga o‘tgan kritik nuqta — maksimum, − dan + ga — minimum.

[a; b] kesmada eng katta va eng kichik qiymat: kritik nuqtalar va kesma uchlaridagi qiymatlar solishtiriladi.

Misol. f(x) = x³ − 3x, f′ = 3x² − 3 = 0 → x = ±1. x = −1 — maksimum (f = 2), x = 1 — minimum (f = −2).

Ko‘p uchraydigan xato

Murakkab funksiyada ichki funksiya hosilasini ko‘paytirishni unutish va kesma uchlaridagi qiymatlarni tekshirmaslik.